Bemessung in horizontaler Richtung

Die Bemessung für Bauteile unter Horizontalbeanspruchung erfordert eine etwas aufwändigere Ermittlung der Widerstände, da diese nicht nur materialabhängig sind, sondern auch durch vorhandene Einwirkungen und vorhandene Lastkombinationen beeinflusst werden.

Auch die Überlagerung von Einwirkungen in horizontale Richtung mit Beanspruchungen aus der vertikalen Lastableitung (beispielsweise Schubbeanspruchung und gleichzeitig exzentrische Lasteinleitung durch Deckenendmomente) am gleichen Bauteil können zu betrachten sein, was durch eine Multiplikation der Lastabminderungsfaktoren der Bauteilwiderstände möglich wird. Diese vor allem bei Erdbebennachweisen sinnvollen kombinierten Betrachtungen werden nicht immer gemacht, sie können eine merkbare Abminderung der jeweiligen Grenzkräfte ergeben. Ähnliche Überlegungen sind anzustellen, wenn Nachweise der Beanspruchungen aus horizontalen Einwirkungen mit einem nichtlinearen Nachweisverfahren unter Betrachtung der Verschiebungen geführt werden.

Nachweise sind sowohl für Bauteile quer zur horizontalen Kraftrichtung (Platte) wie auch für in Kraftrichtung orientiert Bauteile (Wände) zu führen. 

Trag- und Bauwerksmodelle

Die Steifigkeit der Tragstruktur beeinflusst die Größe der durch horizontale Einwirkungen wie z.B. Erdbeben ausgelösten Kräfte. Geht man davon aus, dass ein Bauwerk geeignet ist, bis zum Kollaps eine gewisse Energiemenge aufzunehmen, ist einsichtig, dass bei gleicher Arbeit geringere Verformungen größere Kräfte am Bauteil ergeben. Geht Steifigkeit mit „sprödem Verhalten“ einher, dann liegen ungünstige Verhältnisse vor. Ist das Verhalten von Bauteilen jedoch „duktil“, dann kann Energie (oder Arbeit) bei Überschreiten einer gewissen Beanspruchungsschwelle durch das Verformen von Elementen abgebaut werden.
Die Duktilität einer Struktur oder auch nur von Teilbereichen ist einer der bedeutendsten Faktoren, die das Erdbebenverhalten beeinflussen, und beschreibt die Fähigkeit eines Tragwerkes, ankommende Energie durch unschädliche Verformungs- oder sogar Bruchvorgänge zu vernichten, zu dissipieren. Sie beschreibt somit das plastische Verformungsverhalten unter Beibehaltung der Tragfähigkeit. Vereinfacht wird in zwei Verhaltensregime unterschieden, steif im elastischen Bereich und duktil = verformungsweich im plastischen Bereich.

• Lokale Duktilität bezieht sich dabei auf einzelne Bauteile (z. B. die Ausbildung eines plastischen Gelenks in einem Riegel).
• Globale Duktilität eines Gebäudes wird durch die Verschiebeduktilität der Gesamtkonstruktion erreicht.

Letztere ist besonders für Mauerwerksbauten bedeutsam und ist die Basis der verformungsbasierten Nachweisverfahren. 

Schubbeanspruchte Aussteifungswände

Angreifende Horizontalkräfte können durch in der Wirkungsrichtung angeordnete Wände ableitet werden. Dazu müssen sie jedoch durch Vertikalkräfte (Lasten) belastet sein, damit sich ein ausreichender Biege- und Schubwiderstand ausbildet. Können die Geschossdecken als steife Scheiben angesehen werden, so sind die Horizontalkräfte im Verhältnis der Steifigkeiten der aussteifenden Wände zu verteilen. Bei Wänden, die mindestens doppelt so hoch wie lang sind, darf der Einfluss der Schubverformungen auf die Steifigkeit vernachlässigt werden.

Die horizontale Wandsteifigkeit in Scheibenlängsrichtung setzt sich nach ÖNORM EN 1996-1-1 aus jener der Wand selbst und jenen der mitwirkenden Breite der Querwände zusammen. Diese Querwand oder ein Teil davon kann bei der Bemessung als Flansch der aussteifenden Wand in Rechnung gestellt werden, wenn die Verbindung der Wandscheibe mit dem Gurt in der Lage ist, die entsprechenden Schubkräfte (entlang der Einbindung) aufzunehmen, wenn der Gurt innerhalb der angenommenen Länge nicht ausknickt. Durch diese Bedingung ist die Gurtlänge auch theoretisch beschränkt.

Weiters gibt es eine Reihe von konstruktiven Anforderungen und Hinweisen zusätzlich zu den rechnerischen Nachweisen. 

Die mittragende Breite (je Seite) des Gurtes einer Querwand ist gleich der Dicke der Wandscheibe und, wenn vorhanden, des kleinsten der nachstehenden Werte:

• ℎ_tot/5, wobei ℎ_tot die gesamte Höhe der Wandscheibe ist,
• 𝑙_s/2, die Hälfte des Abstandes zwischen Schubwänden (𝑙_s), wenn diese mit der Querwand verbunden sind,
• ℎ/2, die Hälfte der lichten Höhe (ℎ),
• 6·𝑡, das 6-Fache der Dicke der Querwand 𝑡,
• der Abstand vom Wandende.

1. Kleinstwert lt. Bedingungen
2. Querwand
3. aussteifende Wand 

In Querwänden dürfen für die Beurteilung der stützenden Wirkung Öffnungen kleiner als ℎ/4 oder 𝑙/4 außer Acht gelassen werden, jedoch ist die Querschnittsminderung für die Lastabtragung zu berücksichtigen. In den in Rechnung gestellten Gurten darf keine Öffnung vorhanden sein.

Die größte horizontale Schubkraft einer aussteifenden Wand darf um 15 % abgemindert werden, wenn die von parallel verlaufenden Wänden aufzunehmenden Schubkräfte entsprechend erhöht werden.

Für die Ermittlung der kleinsten, den Bemessungswert des Schubwiderstandes bestimmenden Normalkraft darf bei zweiachsig gespannten Decken die vertikale Last gleichmäßig auf die darunter liegenden Wände verteilt werden. Bei einachsig gespannten Decken oder Dächern darf zur Ermittlung der Normalkraft für die nicht direkt belasteten Wände der unteren Geschosse eine Lastverteilung unter 45° von den belasteten auf angeschlossene, unbelastete Wände angenommen werden.

Die Schubspannungsverteilung kann über den überdrückten Bereich der Wand als konstant angenommen werden. 

Querbelastete Mauerwerkswände

Bei der Berechnung von horizontal auf Plattenbiegung beanspruchten Mauerwerkswänden muss die Weiterleitung der quer eingebrachten Kräfte in den Auflagern gesichert sein. Es stehen zwei Tragmodelle zur Verfügung – reine Plattenbiegung und die Ausbildung von Druckschalen (vereinfacht Druckbögen oder Druckstreben) im Wandkörper zwischen den (unverschieblichen) Auflagern. Jedenfalls ist die jeweilige Auflagersituation zu berücksichtigen.

Auflagernde Stahlbetondecken oder vertikal belastete Wände im Verband dürfen als Auflager für auf Plattenbiegung beanspruchte Wände angesehen werden, wobei die Lagerung als kontinuierlich angenommen werden darf.

Die Auflagerkräfte der Platte dürfen auf jeder Auflagerseite als gleichmäßig verteilt angesetzt und der Schubnachweis mit dieser „verschmierten“ Auflagerkraft geführt werden. Zu beachten sind z.B. Abdichtungsbahnen, die eine Querkraftübertragung vermindern – in diesem Fall darf eine Biegetragwirkung nur in einer Achse angesetzt werden. Werden hingegen Mauersperrbahnen (entsprechend ÖNORM EN 14967) eingelegt und ist die vertikale Spannung auf der Feuchtesperrschicht gleich oder größer der Zugspannung infolge des Bemessungsmomentes, dann darf mit durchgehend voller Biegesteifigkeit gerechnet werden, es ist auch die Schubkraftübertragung gegeben.

Sind Wände mit einer vertikal tragenden Wand oder anderen vergleichbaren Tragwerken über Anker an den vertikalen Rändern verbunden, kann eine teilweise Momentenübertragung an den vertikalen Seiten angenommen werden, wenn die Tragfähigkeit der Anker dafür nachgewiesen werden kann.

Wenn eine Wand nur entlang der oberen und unteren Ränder gehalten ist, darf das Moment nach den üblichen ingenieurmäßigen Regeln unter Berücksichtigung von Durchlaufwirkungen berechnet werden – sofern im Bereich der Stützungen Biegezugkräfte aufgenommen werden können.

Bei Vorhandensein einer Feuchtesperrschicht in der Wand ist diese als Einfeldträger zu betrachten. Hier kann eventuell auch nur eine reduzierte Querkraft übertragen werden. 

Ist eine Wand an 3 oder 4 Seiten gelagert, ist das Moment M_Edi wie folgt zu berechnen:

α₁ und α₂ können für einschalige Wände mit einer Dicke ≤250 mm aus Tabellen der ÖNORM EN 1996-1-1 entnommen werden, μ beschreibt das Verhältnis der Biegefestigkeiten des Mauerwerks senkrecht zueinander (Orthotropiekoeffizient). 

Die mit dem Widerstandsmoment und den Mauerwerksbiegezugfestigkeiten 𝑓_xd1 und 𝑓_xd2 errechenbaren Biegemomente M_Rd sind mit den einwirkenden Biegemomenten zu vergleichen.

Die Maße einer auf Plattenbiegung beanspruchten Wandfläche oder einer freistehenden Wand, deren Mauerwerk mit Mörteln M2 bis M20 hergestellt ist und die durch Einhalten der Bemessungsmomente nachgewiesen ist, sollten so begrenzt werden, dass keine übermäßigen Verschiebungen infolge Durchbiegung, Kriechen, Schwinden, Temperatur und Rissbildungen entstehen.

Verblendmauerwerk ist als einschalige Wand, die vollständig aus den Steinen mit der kleineren Biegefestigkeit hergestellt worden ist, zu berechnen.

Eine Bewegungsfuge in einer Wand ist als Wandende zu behandeln, an dem keine Momente und Querkräfte übertragen werden. Spezielle Anker, die Momente und/oder Querkräfte über Bewegungsfugen übertragen, bzw. deren Verwendung sind durch die Anwendung der Bestimmungen der ÖNORM EN 1996-1-1 nicht erfasst.

Bei zweischaligen Wänden darf auch dann volle Durchlaufwirkung angenommen werden, wenn nur eine Schale kontinuierlich aufgelagert ist, wenn entsprechende Drahtanker vorhanden sind und eine ausreichende Verbindung der beiden Schalen besonders an den vertikalen Rändern der Wand vorhanden ist. Voraussetzung ist, dass in der tragenden Wandschale die entstehenden Biegezugspannungen aufgenommen werden können. 

Kraftangriffszentrum, Steifigkeitszentrum

Es ist zu beachten, dass das Kraftangriffszentrum im Grundriss das Zentrum der einwirkenden Horizontalkräfte (getrennt nach Belastungsrichtung) ist. Wegen unterschiedlicher Wand- und Deckenmassen sowie des nutzlastabhängigen ψ₂-Faktors ist das Kraftangriffszentrum nicht ident mit der aus der Größe der Einzelflächen ermittelbaren Schwerlinie, dem Schwerpunkt.

Ähnliches gilt für das Steifigkeitszentrum, das durch die aussteifenden Wände definiert ist. Bei unterschiedlichen Wandmaterialien sowie wegen der Berücksichtigung der Biege- und Schubverformung entspricht das Steifigkeitszentrum nicht dem Schubmittelpunkt.

• A Kraftangriffszentrum
• B Steifigkeitszentrum 

Diese Definitionen sind bedeutsam, um eventuelle Torsionsbeanspruchungen erkennen zu können. Durch den Hebelarm zwischen Steifigkeitszentrum und Kraftangriffszentrum entsteht bei Erdbebenbeanspruchung richtungs- und geschoßweise eine Torsionsbeanspruchung, die zusätzliche Kräfte um das Steifigkeitszentrum – aufzunehmen von den aussteifenden Wandscheiben – erzeugen.

Die Ermittlung der horizontalen Scheibenkräfte aus der Torsion kann analog zur Steifigkeitsverteilung erfolgen, jedoch ist hier nicht die Kopfverschiebung 𝑓 = 1, sondern die Geschoßverdrehung des Querschnittes um das Steifigkeitszentrum um den Winkel ϕ = 1 anzusetzen. 

Ermittlung Steifigkeitsmittelpunkt

Der koordinative Abstand des Steifigkeitsmittelpunktes der Aussteifungselemente in Richtung der beiden Hauptachsen ergibt sich jeweils aus der Summe der Produkte der Einzelsteifigkeiten (K_i) mit ihrem jeweiligen Steifigkeitsabstand (x_i) dividiert durch die Summe der Einzelsteifigkeiten. Die Definition der Einzelsteifigkeit kann dabei sowohl Biege- wie auch Schubverformungen oder indirekt Verformungsgrößen unterschiedlicher Aussteifungselemente beinhalten.

Ermittlung Kraftangriffszentrum

Der koordinative Abstand des Kraftangriffszentrums in Richtung der beiden Hauptachsen ergibt sich jeweils aus der Summe der Produkte der Einzelmassen (M_i) mit ihrem jeweiligen Massenmittelpunktsabstand (x_i) dividiert durch die Gesamtmasse (Summe der Einzelmassen). Die Einzelmassen resultieren dabei aus den jeweiligen Materialmassen zuzüglich anzusetzender Nutzlasten.

Beispiel Steifigkeitszentrum

Für die Berechnung des Steifigkeitszentrums in Beispiel 6-07 wurde vereinfachend nur der Steifigkeitsansatz über die Schubverformung mit G × A gewählt und die Biegeverformungsanteile vernachlässigt. Durch die nicht mittige Anordnung der tragenden Innenwände und der höheren Materialfestigkeiten im Vergleich zu den Außenwänden ergibt sich eine Ausmitte des Steifigkeitszentrums von der Bauwerksmitte mit Δ𝑥_K = 21 cm und Δ𝑦_K = 61 cm.

Beispiel Kraftangriffszentrum

Bei den Rechenansätzen in Beispiel 6-08 wurden vereinfachend die Massenanteile von nichttragenden Wandabschnitten wie Parapete und Stürze vernachlässigt. Aufgrund des nur geringen Wandanteiles von rund 30 % an der gesamten seismischen Geschoßmasse und der rechteckigen Deckengeometrie ergibt sich nur eine sehr geringe Ausmitte des Kraftangriffszentrums von der Bauwerksmitte mit Δ𝑥_M = 4 cm und Δ𝑦_M = 12 cm.

Regelmäßigkeit und Torsion

Es erscheint wesentlich vor allem für erdbebengefährdete Gebiete mit höheren Horizontalkräften auf die Bauwerke, die Bedeutung eines erdbebengerechten Entwurfs hervorzuheben. Unter der Voraussetzung einer schubsteifen Decke, die das Zusammenwirken der Tragelemente gewährleistet, sind folgende Leitprinzipien zu beachten:

• konstruktive Einfachheit: Wenn erforderlich ist das Gesamtgebäude durch Fugen zu teilen.
• Klare und direkte Wege zur Weiterleitung der erdbebeninduzierten Kräfte – das ermöglicht wesentlich zuverlässigere Voraussagen des seismischen Verhaltens.
• Regelmäßigkeit, Symmetrie und Redundanz; d. h. gleichmäßige Verteilung der tragenden Bauteile.
• Umlagerungsmöglichkeiten durch ausgesuchte Bauteile und gleichmäßige Energiedissipation.
• Bidirektionale Beanspruchbarkeit (Widerstand) und Steifigkeit, d. h., das Tragwerk muss horizontalen Einwirkungen in jeder Richtung widerstehen.
• Nähe von Massen- und Steifigkeitszentrum – ideal ist eine symmetrische Anordnung der Tragelemente.
• Ähnliche Beanspruchbarkeits- und Steifigkeitseigenschaften in beiden Hauptrichtungen. Übermäßige Verformungen, die zur Instabilität infolge von Effekten nach Theorie II. Ordnung führen können, sind durch ausreichend biegesteife Bauteile zu begrenzen. 

Günstig ist eine starre, kasten- oder zellenförmige Gründung, die eine Bodenplatte und eine Deckenplatte enthält, jedoch zumindest eine Plattengründung.

Bauwerke müssen eine ausreichende Torsionsbeanspruchbarkeit und Torsionssteifigkeit besitzen, um das Entstehen von Drehbewegungen zu begrenzen, welche Tragelemente zusätzlich und ungleichmäßig beanspruchen. Die Situierung der Haupttragelemente am Gebäuderand ist günstig. Besonders wichtig ist eine ausreichende Torsionssteifigkeit, wenn größere Biegesteifigkeitsänderungen oder vertikal versetzte Massezentren in den einzelnen Geschoßen vorkommen.

Diese Unterscheidung von regelmäßiger oder unregelmäßiger Tragstruktur wirkt sich auf folgende Aspekte der Erdbebenbemessung aus.

• Das Rechenmodell kann entweder ein vereinfachtes ebenes oder ein räumliches sein.
• Die Berechnungsmethode kann entweder ein vereinfachtes Antwortspektrumverfahren oder muss ein modales Verfahren sein.
• Die Größe des Verhaltensbeiwertsq, der für Bauwerke, die im Aufriss nicht regelmäßig sind, ist abzumindern. 

In der ÖNORM EN 1998-1 ist ein Überprüfungskriterium für die Regelmäßigkeit im Grundriss angeführt, ebenso sind Nachweisverfahren nach konstruktiven Regeln an Regelmäßigkeitskriterien gebunden.

Bei mehrgeschoßigen Bauwerken, bei denen die lastabtragenden Elemente ohne Unterbrechung über die gesamte Höhe laufen und die relativ gleichmäßige „Geschoßdriftverhältnisse“ über die Bauwerkshöhe aufweisen (Rahmentragwerke und Wandscheibenbauten mit unregelmäßiger Geometrie), darf die Torsionswirkung über Näherungsberechnungen nach ÖNORM B 1998-1 abgedeckt werden.

Die in einem Geschoß und für den jeweiligen Lastfall in jede Hauptrichtung wirkenden Horizontalkräfte (V_x, V_y) werden mit den Abständen vom Steifigkeitsmittelpunkt (für alle maßgeblichen Richtungen) unter Berücksichtigung der ungewollten Ausmitten (Δe) multipliziert und damit das Torsionsmoment M_T des Geschoßes errechnet.

zufällige Torsionswirkungen – ungewollte Ausmitten

Um Unsicherheiten bezüglich der Lage von Massen und der räumlichen Veränderlichkeit der Erdbebenbewegung abzudecken, muss der Massenmittelpunkt jedes Geschoßes i um eine Ausmittigkeit e_ai von 5 % der korrespondierenden Bauwerkslänge von seiner planmäßigen Lage in beiden Richtungen verschoben gedacht werden. Bei der Berechnung sind die Ausmitten in allen Geschoßen jeweils in die gleiche Richtung anzusetzen. Falls die horizontale Steifigkeit und die Masse im Grundriss symmetrisch verteilt sind, dürfen die zufälligen Torsionswirkungen dadurch berücksichtigt werden, dass die Kräfte in den einzelnen lastabtragenden Bauteilen mit einem Beiwert δ multipliziert werden.

Horizontalkräfte auf Aussteifungselemente – schubsteife Decken

Da die Aussteifungselemente durch steife Deckenscheiben gekoppelt sind, müssen sie dort gleiche Horizontalverformungen – resultierend aus Biegesteifigkeit, Schubsteifigkeit, Systemsteifigkeiten – aufweisen. Diese Verformung bestimmt die Größe der einzeln wirkenden Horizontalkräfte auf die Aussteifungselemente.

Wandscheibensysteme

Jede Scheibe wirkt wie ein unten eingespannter Kragbalken. Wegen der entstehenden Momente, die nur durch Überdrückung aufgenommen werden können, ist nur eine beschränkte Horizontalkraft abtragbar. Ein Aufklaffen der Wände darf nur in beschränktem Maße – maximal bis zur halben Scheibenlänge stattfinden. Die tatsächliche Horizontalkraftaufnahmefähigkeit der Scheiben hängt demnach maßgeblich auch vom Normalkraftniveau ab.

Rahmensysteme

Die maßgebliche Mitwirkung der Koppelelemente – in der Regel relativ steife Scheiben oder Scheiben mit Sturz- und Brüstungsbalken führt zu Betrachtung der Scheibensysteme als Rahmen. Abhängig von der Steifigkeit der horizontalen Tragelemente ergibt sich eine unterschiedliche Verteilung der Stabmomente.

Benutzt man das einfachste Modell der Kragscheiben und geht von einer starren Kopplung der Einzelscheiben aus, lässt sich über eine für alle Scheiben gültige horizontale Kopfverschiebung 𝑓 = 1 die Größe der einzeln wirkenden Horizontalkräfte bestimmen. Speziell für Scheiben mit Rechtecksquerschnitten gilt dafür Formel (6-63).

Aus Umformung von Formel (6-63) kann für jede einzelne Scheibe eine Ersatzkraft V_i,1 für die Kopfverformung 𝑓 = 1 ermittelt werden. Die Aufteilung der gesamten einwirkenden Horizontalkraft V erfolgt dann proportional der Verteilung dieser Ersatzkräfte auf die einzelnen Scheiben.

Eine vergleichbare Vorgangsweise kann auch beim Einsatz von Rahmensystemen und Fachwerken (als Scheibenersatz) gewählt werden. Aus den jeweiligen statischen Systemen sind unter Berücksichtigung der Stockwerksverschiebungen die horizontalen Einwirkungen proportional auf die Aussteifungssysteme zu verteilen.

Diese Aufteilung der Kräfte stammt aus einem stark vereinfachten Modellansatz unter Verwendung von linear elastischen Systemen unter Biege- und Schubbeanspruchung ohne Berücksichtigung der vorhandenen Normalkräfte. Tatsächlich ist jedoch das Normalkraftniveau bei einzelnen Scheiben stark unterschiedlich (und demnach auch der Übergang vom elastischen zum plastischen Verhalten z. B. durch Aufklaffen von Fugen) und es wird dieser Effekt bei eben diesen Widerstandsermittlungen auch durch Heranziehung der überdrückten Querschnittsfläche berücksichtigt. Der Nachweis ist dann nicht erfüllt, wenn die erste Wand versagt. Die nach derzeitiger Normung bestehende Möglichkeit, Kräfte bis zu 25 % der Gesamtkraft innerhalb der einzelnen Scheibensysteme zu verlagern, stellt nur einen unzureichenden Versuch dar, das Tragwerk integral zu betrachten.

Konsequenterweise und als minimaler Ansatz müsste in iterativer Form eine reduzierte Steifigkeit der Scheiben (orientiert an der überdrückten Länge) in Rechnung gestellt und eine Neuverteilung der Horizontalkräfte durchgeführt werden. 

Alternativ könnte auch der Weg gewählt werden, den unter der gegebenen Randbedingung maximal möglichen Schubwiderstand der Scheiben zu ermitteln und dann die angreifende Horizontalkraft  V im Verhältnis der Scheibentragwiderstände V_Rdi zu verteilen.

Diese Art der Aufteilung bringt vor allem im Bereich geringerer Normalkraftniveaus eine bessere Aufteilung, verändert aber nichts an dem Gesamttragvermögen der betroffenen Scheiben. Bilden die Decken keine ausreichend steife Scheiben (dies gilt z. B. für Decken aus nicht gekoppelten Betonfertigteilen), sollten die Wandscheiben für die waagerechte Kraft aus denjenigen Deckenteilen bemessen werden, welche direkt aufliegen, oder es sind die Bestimmungen für schubweiche Decken heranzuziehen. 

Horizontalkräfte auf Aussteifungselemente – schubweiche Decken

Bauwerke mit schubweichen Decken sind hinsichtlich ihres Erdbebenwiderstandes und zur Verteilung von horizontalen Einwirkungen nachteilig. Obwohl die Zuteilung der Horizontalkräfte auf die Einzelscheiben bei Koppelung von hintereinander angeordneten Scheiben durch in der Regel vorhandene Verschließungssysteme gleich wie bei schubsteifen Deckensystemen möglich ist, ist eine Umlagerung von Horizontalkräften zwischen einzelnen, nebeneinander wirksamen Scheibensystemen praktisch nicht möglich. Mehr noch ist aber ungünstig, dass schubweiche Deckensysteme zumeist auch biegeweich sind, sodass es zu keinen steifen Kopplungen mit der Möglichkeit, rückdrehende Momente zu generieren, kommen kann.

Die auf die Einzelscheiben einwirkenden Horizontalkräfte sind geometrisch aus der Lage der Scheiben (bzw. des Scheibenzuges) im Grundriss, Lasten sind aus dem System der Normalkraftableitung zuzuordnen. 

Nachweisformate nach EUROCODE

Die Nachweisformate für den Nachweis von Wandscheiben sind analog zu jenen bei vertikalen Lasten in Stufen unterschiedlicher Komplexität bzw. mit unterschiedlichen Anwendungsgrenzen gegliedert. Grundsätzlich gelten die konstruktiven Angaben der ÖNORM EN 1996-1-1 in allen Fällen. Die in ÖNORM EN 1996-3 angegebenen Regeln entsprechen denen in ÖNORM EN 1996-1-1, sind jedoch hinsichtlich der Anwendungsbedingungen und Anwendungsgrenzen konservativer.

• Konstruktive Regeln für einfache Bauwerke durch Beschreibung der geometrischen Randbedingungen und Einhaltung einiger weniger Mindestanforderungen (ÖNORM B 1996-3).
• Konstruktive Regeln im Falle von Erdbebeneinwirkungen (Gültigkeit der ÖNORM B 1998-1) mit restriktiveren Bedingungen.
• Einfacher rechnerischer Nachweis nach ÖNORM EN 1996-3 für Bauten mit beschränkter Größe. Als Höhengrenze sind in Österreich 20 m definiert.
• Rechnerischer Nachweis für Mauerwerksbauten nach ÖNORM EN 1996-1-1, jedoch nicht ausreichend für Erdbebengebiete.

Wie erkennbar, sind der Aufwand des Nachweises bzw. die Grenzen der Nachweisbarkeit von der möglichen Erdbebeneinwirkung abhängig. Die Nachweise in Wandquerrichtung werden bei den einfachen Bauwerken bis 3 Geschoße nicht explizit geführt – in der Regel ist die Zulässigkeit durch die Einhaltung der Randbedingungen gegeben.

Konstruktive Regeln Gesamtstabilität – ÖNORM B 1996-3

Zur Sicherung der Gesamtstabilität eines Gebäudes sind aussteifende Wände in zwei orthogonalen Richtungen vorzusehen und nachzuweisen, wobei das in Übereinstimmung mit ÖNORM EN 1996-1-1 oder nach dem in der ÖNORM B 1996-3 enthaltenen vereinfachten Verfahren geführt werden darf. Ergänzende Anforderungen an die Erdbebensicherheit sind jedoch gemäß ÖNORM B 1998-1 zu überprüfen, d. h. dieser vereinfachte Nachweis ist nur für Horizontalbeanspruchungen zufolge Windkräften zulässig.

Der Nachweis für Wände gilt als erbracht, wenn – bei einem durch Fugen begrenzten Deckenabschnitt – nachfolgende Bedingungen erfüllt sind:

• Mindestens zwei jeweils parallele Wände sind in zwei orthogonalen Richtungen angeordnet, wobei die Länge jeder Wand größer als 30 % der Bauwerkslänge in Richtung der betrachteten Wand zu sein hat.
• Der Abstand zwischen diesen Wänden ist größer als 75 % der Bauwerksabmessung in der dazu orthogonalen Richtung.
• Es müssen zumindest 35 % der gesamten vertikalen Lasten in jeder der ausgezeichneten Richtungen von Schubwänden abgetragen werden. Die Schubwände in einer Richtung müssen mit Schubwänden in der dazu orthogonalen Richtung in einem maximalen Abstand von 7 m verbunden werden.
• Zwischen zwei aufeinander folgenden Vollgeschoßen dürfen die Unterschiede der Massen sowie der Summen der horizontalen Schubwand-Querschnittsflächen 20 % nicht überschreiten. 
• Das Grundrissverhältnis zwischen kürzerer und längerer Bauwerksseite darf 1:4 nicht überschreiten, die Bauwerkshöhe darf nicht mehr als das 1,3-Fache der kürzeren Bauwerksseite betragen.
• Für unbewehrte Mauerwerkswände ist ein Mindestschubwandquerschnitt pro orthogonaler Richtung gemäß Tabelle 5-45 als Prozentangabe p_A,min der gesamten Gebäudegrundrissfläche je Geschoß einzuhalten.
• Alle Decken müssen eine ausreichende Scheibenwirkung in ihrer Ebene aufweisen (schubsteife Decke).
• Der Mittelwert der Längen der pro ausgezeichneter (orthogonaler) Richtung in Rechnung gestellter Schubwände muss bei einer Abtragung der Vertikallasten von 35 % mindestens 100 % der lichten Geschoßhöhe und bei einer Abtragung der Vertikallasten von 65 % mindestens 50 % der lichten Geschoßhöhe betragen, Zwischenwerte dürfen linear interpoliert werden. 

Die Berechnung der Tabellenwerte (Tabelle 6-45) erfolgte unter Annahme einer Erdbebenbeanspruchung mit dem Grenzwert der „sehr geringen Seismizität“, d. h. für Gebäudestandorte, die nur in Ausnahmefällen eines Nachweises der Erdbebenkräfte bedürfen. Die daraus resultierende Horizontalbeanspruchung liegt üblicherweise höher als zufolge Windeinwirkungen, wodurch die angegebenen Tabellenwerte auf der „sicheren Seite“ liegen. 

Berechnungsbeispiele bei horizontaler Beanspruchung

konstruktive Regeln der Gesamtstabilität nach ÖNORM B 1996-3

Der Nachweis der Gesamtstabilität (Beispiel 6-10) beruht auf einem reinen Vergleich der geometrischen Abmessungen des Gebäudes und der Einhaltung mindesterforderlicher Schubwandflächen in Abhängigkeit von der Geschoßanzahl und der Materialgüten von Stein und Mörtel.

Konstruktive Regeln Erdbeben – ÖNORM B 1998-1

Die ÖNORMEN EN 1998-1 und B 1998-1 ermöglichen für „einfache Mauerwerksbauten“, die den Bedeutungskategorien I oder II angehören, die Anwendung von konstruktiven Regeln. Sofern diese eingehalten werden, ist ein expliziter Sicherheitsnachweis nicht zwingend vorgeschrieben.

Der Mindestschubwandquerschnitt wird als Prozentangabe p_A,min der gesamten Gebäudebruttogrundrissfläche je Geschoß in Abhängigkeit vom Produkt a_g·S am Gebäudestandort angegeben.

Anforderungen an den Entwurf und das Gebäude:

• Die Regelungen gelten nur in Verbindung mit unbewehrtem Mauerwerk.
• Der Grundriss sollte annähernd rechteckig sein. Das Verhältnis zwischen der Länge der kürzeren und der Länge der längeren Seite im Grundriss sollte nicht kleiner als 0,25 sein (entspricht Seitenverhältnis 1:4).
• Die Fläche der projizierten Abweichungen von der Rechteckform sollte nicht größer als 15 % der gesamten Gebäudegrundrissfläche oberhalb der betrachteten Ebene sein.
• Die Anordnung der Wände im Grundriss muss so gestaltet sein, dass große Torsionswirkungen der Erdbebeneinwirkung vermieden werden. Das heißt, dass der Steifigkeitsmittelpunkt nahe beim Massenmittelpunkt liegen muss.

Anforderungen an den Entwurf und das Gebäude:

• Die Regelungen gelten nur in Verbindung mit unbewehrtem Mauerwerk.
• Der Grundriss sollte annähernd rechteckig sein. Das Verhältnis zwischen der Länge der kürzeren und der Länge der längeren Seite im Grundriss sollte nicht kleiner als 0,25 sein (entspricht Seitenverhältnis 1:4).
• Die Fläche der projizierten Abweichungen von der Rechteckform sollte nicht größer als 15 % der gesamten Gebäudegrundrissfläche oberhalb der betrachteten Ebene sein.
• Die Anordnung der Wände im Grundriss muss so gestaltet sein, dass große Torsionswirkungen der Erdbebeneinwirkung vermieden werden. Das heißt, dass der Steifigkeitsmittelpunkt nahe beim Massenmittelpunkt liegen muss.
• Die Anwendung ist nur zulässig unter der Einhaltung bzw. Begrenzung der seismisch wirksamen Masse der Decke von 1000 kg/m² pro Geschoß ohne Berücksichtigung der Masse der Schubwände.
• Die Geschoßhöhen sollten den Betrag von etwa 3 m nicht überschreiten. Ein leichter Dachgeschoßausbau ist nicht extra zu berücksichtigen. Ein schwerer Dachgeschoßausbau (Sargdeckel) gilt als ein zusätzliches Geschoß.
• Zwischen aufeinander folgenden Geschossen sollten der Massenunterschied und der Unterschied der horizontalen Querschnittsflächen von Schubwänden in beiden orthogonalen horizontalen Richtungen auf 20 % beschränkt sein. 

Die Schubwände des Gebäudes müssen sämtliche der folgenden Bedingungen erfüllen:

• Das Gebäude muss durch Schubwände ausgesteift sein, die im Grundriss nahezu symmetrisch in zwei orthogonalen Richtungen angeordnet sind.
• Mindestens 2 parallele Wände sollten in zwei orthogonalen Richtungen angeordnet sein, wobei die Länge jeder Wand größer ist als 30 % der Bauwerkslänge in der betrachteten Richtung.
• Für die Wände in mindestens einer Richtung muss der Abstand zwischen diesen Wänden größer als 75 % der Gebäudelänge in der anderen Richtung sein.
• Mindestens 75 % der Vertikallasten müssen von den Schubwänden abgetragen werden, wobei nicht weniger als 35 % der vertikalen Lasten in einer der ausgezeichneten Richtungen abgetragen werden darf.
• Schubwände müssen über alle Geschosse von der Gründung bis zum Dach durchgehen.
• Die Schubwände in einer Richtung sollten mit Schubwänden in der dazu orthogonalen Richtung in einem maximalen Abstand von 7 m verbunden werden. 

Berechnungsbeispiele bei horizontaler Beanspruchung

konstruktive Regeln bei Erdbebeneinwirkung nach ÖNORM B 1998-1

Vergleichbar zum Nachweis der Gesamtstabilität nach ÖNORM B 1996-3 (Beispiel 6-11) sind im Erdbebenfall ergänzende konstruktive Bedingungen einzuhalten, die dann abhängig von der seismischen Einwirkung gelten. Neben den geometrischen Bedingungen für Schubwände (Tabelle 6-41) hinsichtlich Wandstärke, Schlankheit und Wandlänge sind ab drei Geschoßen noch Zusatzbedingungen für die Wandlänge einzuhalten.

Horizontaler Bemessungswiderstand – ÖNORM EN 1996-3

Grundsätzlich sollte der horizontale Bemessungswiderstand von Wänden über eine ausreichende Anzahl von Prüfungen ermittelt werden. Das in der ÖNORM EN 1996-3 angeführte näherungsweise Rechenverfahren nimmt an, dass die Verteilung der Scherspannungen in Wandlängsrichtung konstant ist und dass für die aufnehmbare Scherkraft einer Wandscheibe nur jener Bereich (Fläche A_c) berücksichtigt wird, der einer Normalkraftbeanspruchung (Druckbeanspruchung zufolge vertikaler Lasten) unterliegt.

Der Bemessungswert der Schubtragfähigkeit in Wandlängsrichtung V_Rd kann bei Rechteckquerschnitten nach Formel (6-66) ermittelt werden, sofern eine maximale vertikale Beanspruchung des betrachteten Wandabschnittes nicht überschritten wird, keine Randstreifenvermörtelung vorliegt und die Anforderungen an den Mörtel sowie die Mörtelfugen (siehe Mörtelfugen) eingehalten werden. 

Die Länge 𝑙 der horizontalkraftabtragenden Wandscheibe darf durch die queranschließenden Wände hindurchreichend angenommen werden, wenn der Wandkörper in Art und Festigkeit bis an den Rand gleichartig ist. 

Horizontaler Bemessungswiderstand – ÖNORM EN 1996-1-1

Für die Ermittlung des horizontalen Bemessungswiderstands von Wänden nach ÖNORM EN 1996-1-1 gelten bei rechteckigen Wandquerschnitten die gleichen Voraussetzungen wie für die in ÖNORM EN 1996-3 angeführten.

Ergänzend wird noch angeführt:

• Die Länge des überdrückten Teiles der Wand 𝑙_c ist unter Annahme einer linearen Spannungsverteilung zu berechnen sowie sind Öffnungen, Schlitze und Aussparungen dabei zu berücksichtigen. Durch vertikale Zugspannungen beanspruchte Wandbereiche sind nicht anzusetzen.
• Die Verbindungen zwischen Schubwänden und den Flanschen der kreuzenden Wände müssen auf vertikale Schubbeanspruchung nachgewiesen werden, sofern eine Berücksichtigung der Flansche für die Schubkraftabtragung herangezogen wird.
• Die Länge des überdrückten Wandbereiches ist für die dort wirkende vertikale Belastung und deren Auswirkung auf die Schublasten zu bemessen. 

Quasistatischer Nachweis Erdbeben – ÖNORM EN 1998-1

Die Erdbebeneinwirkungen werden auf Grundlage der Antwortspektrumsmethode ermittelt. Das vereinfachte linear statische Verfahren der ÖNORM EN 1998-1 basiert auf einer Berechnung von Erdbebenersatzkräften unter Heranziehung der vorhandenen Massen und unter Annahme eines linear elastischen Ersatzsystems. Aus dem elastischen Beschleunigungsantwortspektrum (unter Berücksichtigung des Bodens und einiger weiterer Randbedingungen) kann für die zutreffende Eigenperiode des Bauwerks die maximale Beschleunigung S_d(T) entnommen und die maximale Trägheitskraft ermittelt werden. Diese im Massenschwerpunkt wirkende Kraft wird dann als statische Erdbeben-Ersatzlast angesetzt bzw. analog zu den Verschiebungen gleichmäßig den die Hauptmasse tragenden Decken zugeordnet.
In der Nachweisführung wird überprüft, ob das Bauwerk durch seine Aussteifungsstruktur die ankommenden horizontalen Beschleunigungen, ausgedrückt durch die angreifenden „Ersatzkräfte“, ertragen kann bzw. ob der Widerstand der Bauteile ausreicht. Das Ersatzkraftverfahren als vereinfachte Antwortspektumsmethode wird sehr oft angewendet, da es das einzige Verfahren ist, das auch noch mit vernünftigem Rechenaufwand durch Handrechnung zu bewältigen ist. Aus dem vereinfachten Antwortspektrumverfahren werden die an den Geschoßebenen (Massekonzentrationen) angreifenden Ersatzkräfte ermittelt.
Auf jeder der Aussteifungsscheiben wirkt in den Deckenebenen die ermittelte Horizontalkraft, die in der Regel nach den Biege- und Schubsteifigkeitsverhältnissen den einzelnen Scheiben zugewiesen wird. 

In der weiteren Beschreibung wird die aus den Erdbebennormenwesen stammende Bezeichnung der Ersatzkräfte von F in V geändert, da diese Kräfte als Querkräfte (Horizontalkräfte) an den aussteifenden Mauerscheiben angreifen. Die Lasten der Decken und der darüberstehenden Wände bilden die Normalkraft N. Die Horizontalkraft V verursacht ein Moment in der Wandscheibe, wobei zwischen einem lokalen Moment – aus der Einwirkung des der Wandscheibe zugeordneten Anteils der im Geschoß wirkenden Horizontalkraft - und einem globalen Moment, das sich durch die schon über der Nachweisebenen wirkenden Momente ermittelt, unterschieden wird.
Die nachfolgende Aufteilung der Kräfte löst die angreifenden Kräfte so auf, dass es zu einer Momentenfreiheit in Scheibenmitte kommt – was jedoch nicht automatisch eine vollständige Verdrehbehinderung der Decke bedingt. In diesem Ansatz resultiert aus dem globalen Moment M_Ed,o eine entsprechende Verdrehung des Wandkopfes und es entsteht daraus eine verminderte wirksame Wandscheibenlänge L_i,cal. Diese Bemessungslänge ist so definiert, dass sie die momentenfreie Wandlänge in Höhe der Wandmitte darstellt.

_{Anmerkung: Der Nachweis der Schubtragfähigkeit der Wandscheibe hat prinzipiell nach den Vorgaben der ÖNORM EN 1996-1-1 zu erfolgen. Im Forschungsprojekt ESECMASE wurde ein alternativer Bemessungsansatz entwickelt der nachfolgend beschrieben aber noch nicht in der Norm aufgenommen ist.}

Bemessungslänge Wandscheibe

Die Wandlänge außerhalb der Bemessungslänge wird nicht mehr in die Nachweise miteinbezogen. 

Aus diesem Ansatz folgt, dass es sinnvoller ist, mehrere kürzere Wandabschnitte als Aussteifungselemente zu definieren, als dafür z. B. eine lange Wand heranzuziehen. 

Widerstand der schrägen Druckstrebe

Aus der Größe der vertikalen Belastung N_Ed und den geometrischen Randbedingungen der Scheibe (bezogen auf die ursprüngliche Scheibenlänge) resultieren ein maximal möglicher Hebelarm und ein maximal möglicher Horizontalwiderstand V_Rd1. Die maximale Spannung im Spannungsblock resultiert aus der charakteristischen Mauerwerksdruckfestigkeit 𝑓_k in Abhängigkeit von der Mauersteingruppe (1, 2, 3) und dem Teilsicherheitsbeiwert γ_M bei Druckbeanspruchung.

Um eine Anwendung der vertikalen Druckfestigkeit 𝑓_k durch die Schrägneigung der Druckstrebe noch zu gewährleisten, ist der Neigungswinkel δ mit 55° nach unten zu begrenzen. Bei einer größeren Schrägneigung müsste die Interaktion zwischen der vertikalen und der horizontalen Druckfestigkeit berücksichtigt werden.

Scherversagen in der Druckstrebe – Fugenversagen, Steinversagen

Für Wandabschnitte, die unter Berücksichtigung aller möglicher Lastfallkombination ständig unter Druckspannungen liegen, kann für das Fugenversagen in der Druckstrebe auch der Ansatz einer Anfangsscherfestigkeit 𝑓_vk0 erfolgen, für alle anderen Abschnitte ist nur eine Reibungskraft 𝜇 ⋅ N_Ed zufolge Auflast möglich.

Das Versagen einzelner Steine durch Überschreiten der Zug- oder Scherbeanspruchungen bzw. durch Kippen bedingt durch die Steingeometrie ist aus Versuchen abgeleitet. In kommenden Normungsaktivitäten könnte überlegt werden, hier ausgewertete Prüfwerte und den Ansatz geometrischer Bedingungen am Stein sowie der Mauersteinart in das Versagenskriterium V_Rd3 aufzunehmen. 

horizontaler Bemessungswiderstand der Einzelscheibe

Der horizontale Bemessungswiderstand des Wandabschnittes resultiert dann aus dem Minimum der drei Versagensarten.

horizontaler Bemessungswiderstand Wandzug

Bei Schubscheiben, die miteinander gekoppelt sind, führt eine Überschreitung der aufnehmbaren Horizontalkraft einer Einzelscheibe theoretisch zu einer größeren Verformung des Wandkopfes, welche sich aber nicht ausbilden kann – die miteinander gekoppelten Wände werden stärker beansprucht. Ein Sonderfall sind Wandzüge – hier sind einzelne Wandscheiben in der Wirkungslinie angeordnet und druck- bzw. zugsteif miteinander verbunden. Somit lassen sich auch die horizontalen Einwirkungen und Widerstände summieren bzw. in der Gesamtheit betrachten. Umlagerungen sind innerhalb des lokalen Systems deshalb unbeschränkt möglich, sofern das Gesamtsystem die Beanspruchungen aufnehmen kann.

Pushover-Verfahren Erdbeben – ÖNORM EN 1998-1

Das vereinfachte, verformungsbasierte Verfahren ermöglicht die Berücksichtigung des nichtlinearen Verhaltens von Bauwerksstrukturen unter Erdbebeneinwirkung durch die Bewertung der Widerstandsfähigkeit unter Berücksichtigung der plastischen Reserven, also der Verformungskapazität der Bauteile. Die in ÖNORM EN 1998-1 beinhaltete Nachweisführung basiert auf der sogenannten N2-Methode von Fajfar (1999) und ist streng nur bei Systemen anwendbar, deren Schwingverhalten durch die erste Eigenform dominiert wird und die als ebene Systeme mit gleichartiger Steifigkeit in den Geschoßen gesehen werden können.

In der Literatur gibt es mehrere verschiebungsbasierte Nachweise für nichtlineare statische Analysen, wobei die Kapazitätsspektrummethode, welche aus dem klassischen Pushover-Verfahren weiterentwickelt wurde, heute international sicherlich die am weitesten verbreitete Methode ist. Hierbei wird der „performance point“ – die maximale Spektralverschiebung – unter Berücksichtigung auch unterschiedlicher Geschoßsteifigkeiten und mehrerer Modalformen in einem gemeinsamen Spektralverschiebungs-/Spektralbeschleunigungsdiagramm grafisch ermittelt. 

Die unter Erdbebenerregung entstehenden Kräfte führen zu auch nichtlinearen Kraftumlagerungen mit plastischen Anteilen wie z. B. plastischen Fließgelenken oder im Mauerwerksbau zu Rissen, die durch entsprechende Materialmodelle erfasst werden müssen. Das plastische Verhalten kann sehr ausgeprägt sein und reduziert durch Energiedissipation entstehende Beanspruchungen in den Bauteilen. Dieser Prozess ist solange günstig, solange eine Horizontalkraftaufnahme bei zunehmender Verformung möglich ist. Wird diese Grenze überschritten, dann ist der „Kollaps“ erreicht.

Wie zuvor dargestellt, beschreibt ein „Antwortspektrum“ die maximal auftretende Reaktion eines Tragwerks auf eine Bodenschwingungen z. B. aus Erdbeben. Zumeist wird die am Tragwerk auftretende Spektralbeschleunigung für die Nachweisführung herangezogen, wobei die Bauwerksstruktur durch die (erste) Eigenfrequenz beschrieben wird. Durch die Massenträgheit entstehen Kräfte in der Struktur, Wände und Decken werden verschoben. Die Erdbebenerregung ist üblicherweise die Einwirkung oder aber hier die an einem äquivalenten Einmassenschwinger ermittelte maximale Verschiebung. Als Widerstand muss dann in Analogie die an einem dynamischen Modell des Mehrmassenschwingers und unter den möglichen Beanspruchungsformen sowie unter Berücksichtigung der elastisch-plastischen Arbeitslinie ermittelte maximale Systemverschiebung d_maxgesehen werden. Beide Kurven können auch im Verschiebungsantwortspektrum dargestellt werden. 

Der Nachweis mittels „Pushover-Verfahren“ („klassisches Pushover“ nach ÖNORM EN 1998-1, Anhang B) gliedert sich in zwei Teile – die Ermittlung der maximalen auf das System wirkenden Beanspruchung unter Ansatz des elastischen Antwortspektrums am dynamischen Modell und die Feststellung des Widerstandes der Struktur, ausgedrückt durch die Pushover-Kurve oder auch Kapazitätskurve. Als Nachweisgrößen werden Verschiebungen definiert, die letztlich verglichen werden.

Für die Ermittlung der Kapazität wird eine Beziehung zwischen der Gesamterdbebenkraft am Fuß des Tragwerks und der horizontalen Verschiebung am Wandkopf (Höhe letzte Decke = Kontrollpunkt) hergestellt, wobei das elastisch-plastische Materialverhalten von Mauerwerksscheiben unter Schub oder Biegung, aber auch von Rahmensystemen berücksichtigt wird. Diese Verschiebung ist naturgemäß von der Kombination aus horizontalen und vertikalen Beanspruchungen sowie dem Materialset, aber auch von den tatsächlichen oder angenommenen Arbeitslinien beeinflusst.

Für den Nachweis von Gebäuden wird deren Widerstand vereinfacht als Summe der Einzelwiderstände = Verformungen der Aussteifungsscheibensysteme = einzelne Kragarme aufgefasst. Das Verfahren ist für eine relativ einfache ingenieurmäßige Abschätzung von Gebäudeteilen geeignet. 

Wenn die Regelmäßigkeitskriterien nicht erfüllt sind, müssen die aus der Lageabweichung von Massezentrum zu Steifigkeitszentrum entstehenden Torsionseinwirkungen berücksichtigt werden, was zu größeren Verschiebungen in der Kontrollebene führt. Im Detail wird die Berechnung in der ÖNORM EN 1998-1, Anhang B, beschrieben. Für die Pushover-Berechnung wird mit den Mittelwerten der Materialparameter gerechnet, für die Steifigkeiten werden in der Regel reduzierte Steifigkeiten (gerissener Zustand) angesetzt.

Bestimmung Zielverschiebung am elastischen Antwortspektrum

Für die Pushover-Methode wird das elastische Antwortspektrum zur Beschreibung der seismischen Beanspruchung benötigt. Daraus wird auch die am Bauwerk einwirkende Gesamterdbebenkraft samt den Geschoßebenen zuzuordnenden Massen (analog zum Ersatzkraftverfahren) ermittelt. Für die im Tragwerk situierten Wandscheiben ist jeweils die Arbeitslinie zu definieren, wobei hier auch zwischen den grundsätzlichen Beanspruchungsformen – Bauteile mit Biegung und Längskraft oder schubbeanspruchten Bauteilen – zu unterscheiden und die ungünstigere Last-Verformungskurve für die weitere Untersuchung heranzuziehen ist. Die dafür notwendigen Zusammenhänge sind aus der ÖNORM EN 1996-1-1 zu entnehmen, wobei beispielsweise die mittlere Schubfestigkeit einer Wandscheibe wie in “Quasistatischer Nachweis Erdbeben – ÖNORM EN 1998-1“ beschrieben herangezogen werden kann.
Die elastische Verschiebung d_y,0 am Ersatzsystem in Höhe H₀ sowie in der Höhe der Kontrollebene wird mit den ermittelten Ersatzhöhen und der Horizontalkraftkapazität V errechnet, wobei hier die Steifigkeiten passend gewählt werden müssen. Die Scheibenlänge wird voll eingesetzt. 

Die Verformungskapazität d_max ist nach ÖNORM EN 1998-3 für primär seismische Wände (Wandlänge D) unter Biegebeanspruchung mit 0,008⋅H₀/D beschränkt, unter Schubbeanspruchung mit 0,004·H₀/D. Mit den angegebenen maximalen Stockwerksschiefstellungen (gegenseitige Stockwerksverschiebung) lässt sich die maximale zulässige Verschiebung (Verschiebekapazität) du in der Höhe der obersten Decke bei dieser Beanspruchungsart errechnen.
Mit diesen Daten lässt sich dann die vollständige Kapazitätskurve darstellen, wobei wegen des Beitrages von H₀ auch die angesetzte Kraftverteilung am Ersatzsystem das Ergebnis mit definiert. Der Quotient aus der maximalen Verschiebung du und der elastischen Verschiebung d_y,0 am Wandkopf ergibt die Verschiebeduktilität μ.

Das Antwortspektrum wie auch die Kapazitätskurve samt Zielverschiebung lassen sich in eine Spektralbeschleunigungs-Spektralverschiebungs-Darstellung unter Verwendung der Gleichung (6-75) transformieren.

Analog zu der Pushover-Kurve am realen System wird eine Pushover-Kurve für den äqivalenten Einmassenschwinger, gekennzeichnet durch (*), dargestellt.

Die Kraft F_y* an der Streckgrenze, die auch die Grenzfestigkeit des idealisierten Systems darstellt, wird gleich der Gesamterdbebenkraft bei Entstehung des plastischen Mechanismus gesetzt. Die Anfangssteifigkeit des idealisierten Systems wird daraus bestimmt, dass die Flächen unter der wirklichen und der idealisierten Kraft-Verschiebungs-Kurve gleich sind.

Auf der Grundlage dieser Annahme ergibt sich die Fließverschiebung – (grenz)elastische Verschiebung — d_y* des idealisierten Einmassenschwingers mit E_m* als Verformungsenergie bis zur Entstehung des plastischen Mechanismus.

Bestimmung der Eigenperiode des äquivalenten EMS

Die Eigenschwingzeit T* des idealisierten, äquivalenten EMS dient zur Ermittlung der Zielverschiebung des Tragwerkmodells mit unbeschränkt elastischem Verhalten.

Verschiebeantwortspektren geben die maximale Verschiebung eines EMS in Funktion der Frequenz wieder. Die Benutzung dieses Spektrums erfordert, dass das Gebäude, welches ja einem MMS entspricht, samt den entsprechenden Stockwerksmassen durch einen äquivalenten EMS ersetzt wird.

Die Gebäudemasse wird mittels des Bemessungsantwortspektrums in horizontale statische Ersatzkräfte mit der Verteilung in den Deckenebenen umgewandelt und dann in einen äquivalenten Einmassenschwinger transformiert und die Gleichungen werden nach der Verschiebung ausgewertet. Zu der als „Bedarfsbeschleunigung“ S_ae genannten Spektralbeschleunigung lässt sich auch die elastische „Bedarfsverschiebung“ angeben.

Das in der Norm gegebene Antwortspektrum Spektralbeschleunigung| Perioden (S_ae|T)-Diagramm bzw. Spektralverschiebung|Perioden (S_de|T)-Diagramm muss in der Darstellung in ein Diagramm Spektralbeschleunigung|Spektralverschiebung (S_ae|S_de) umgewandelt werden. Zur Berücksichtigung der Bauwerksduktilität wird die elastische Bauwerksantwort auf eine plastische Antwort erweitert. Für T* >T_C gilt das Prinzip der gleichen Verschiebungsantworten.

In weiterer Folge erfolgt die Bestimmung der Zielverschiebungd*_et am idealisierten äquivalenten Einmassenschwinger mit unbeschränkt elastischem Verhalten mit S_e(T*) als Ordinate des elastischen Beschleunigungsantwortspektrums für die Periode T*.

Die Eckperiode zwischen den Bereichen kurzer und mittlerer Perioden ist die obere Grenze des Bereichs konstanter Spektralbeschleunigung T_C (Tabelle 6-27).

Für die Bestimmung der Zielverschiebung d_t* für Tragwerke im Bereich kurzer Perioden (kleiner T_C) und für Tragwerke im Bereich mittlerer und langer Perioden sind verschiedene Ausdrücke zu verwenden.

• Bereich kurzer Perioden T <T_C
  q_u ist das Verhältnis der Beschleunigung im Tragwerk bei unbeschränkt elastischem Verhalten S_e(T*) und derjenigen bei beschränkter Tragwerksfestigkeit F_y*/m*.

• Bereich mittlerer und langer Perioden T >T_C
  Die Periode T* wird durch die radiale Gerade durch den Ursprung des Koordinatensystems zum Punkt des elastischen Antwortspektrums mit den Koordinaten d_et* und S_e(T*) wiedergegeben.

Abschließend erfolgt eine Rücktransformation und Zielverschiebung der Mehrmassenschwinger bezogen auf den Kontrollknoten in das „reale“ MMS-Modell. Dies geschieht durch Umkehrung der Beziehung (6-84), wobei nach ÖNORM EN 1998-1 die ermittelte Verschiebung d_t um den Faktor 1,5 zu erhöhen ist.

Berechnungsbeispiele bei horizontaler Beanspruchung

quasistatischer Erdbebennachweis nach ÖNORM B 1998-1

Der quasistatische Erdbebennachweis ist grundsätzlich für alle Pfeiler bzw. Wandzüge und alle Geschoße zu führen. Nach der Bestimmung der seismischen Lasten (siehe Bemessungssituationen bei Erdbebeneinwirkungen) und daraus resultierend der Erbebeneinwirkungen auf das gesamte Gebäude (siehe Quasistatische Erdbebenersatzkräfte) sind die vertikalen und horizontalen Kräfte geschoßweise auf die Pfeiler und Wandzüge zu verteilen. Die durch die horizontalen Kräfte entstehenden Momente können bei entsprechen steifen Bauweisen über die Biegetragfähigkeit der Wandzüge abgetragen werden und ergeben dann eine Umlagerung der vertikalen Lasten. Über den horizontalen Bemessungswiderstand der einzelnen Pfeiler (siehe Horizontaler Bemessungswiderstand - ÖNORM EN 1996-1-1), resultierend aus den Auflasten, der Anfangsscherfestigkeit und der Pfeilergeometrie ergibt sich dann der Gesamtwiderstand des Wandzuges je Bemessungsrichtung. Bei dem in Beispiel 6-12 nachgewiesenen Wandzug WZ 3.2 im Erdgeschoß ergibt sich eine maximale horizontale Ausnutzung von 0,46 zufolge der angesetzten Erbebenbeanspruchung.

Bei den in Beispiel 6-12 geführten Nachweisen ist auch noch die vertikale Tragfähigkeit im Erdbebenfall zu ergänzen, wobei sich durch die jeweiligen Bemessungsrichtungen und die Abtragung der Momente minimale und maximale Vertikalkräfte in den Pfeilern ergeben. Diese Nachweise sind in Beispiel 6-13 sowohl für die Lastfälle der Grundkombination wie auch unter Erdbebenbeanspruchung geführt. Für das in Beispiel 6-12 dargestellte und in Beispiel 6-13 vollständig bemessene zweigeschoßige Gebäude ergibt sich dann eine maximale vertikale Ausnutzung bei der Grundkombination der Wände im OG mit 0,34 sowie im EG mit 0,67. Die horizontale Ausnutzung der Wandzüge zufolge Erdbebenbeanspruchung liegt im OG bei 0,74 und im EG bei 0,62.

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